自动控制原理基础-05-控制系统的时间响应及稳态误差分析

在已知控制系统数学模型的基础上，本章主要分析在输入信号作用下系统在时域中的输出响应问题。

第一节 概述

时域分析法

时序分析法：研究控制系统在输入信号作用下，输出响应随时间变化的过程以及与输入信号相互关系的一种系统性能分析方法

时间响应

瞬态响应 + 稳态响应

瞬态响应：在输入信号作用下，系统的输出量从初始状态到达一个新的稳定状态的响应过程

稳态响应：时间趋于无穷大时系统的输出响应

实际物理系统总包含一些储能元件，故当输入信号作用于系统时，系统的输出量不能立即跟随输入信号变化，而是在系统达到稳态响应之前表现为逐渐趋向稳态响应的变化过程。

典型输入信号

选择典型输入信号的原则

1. 反映最恶劣的工作情况
2. 反映实际情况
3. 在数学上和实验中比较容易处理和获得

常用的典型输入信号

单位脉冲信号

$$x_i(t) = \delta(t) = \begin{cases} 0 \qquad &\rm{others} \\ \lim\limits_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\varepsilon} \qquad &0 \leq t \leq \varepsilon \end{cases}$$

阶跃信号

$$x_i (t) = \begin{cases} 0 \qquad &t<0 \\ K \qquad &t \geq 0 \end{cases}$$

$K$ 表示阶跃信号幅度

单位阶跃信号： $K = 1$ 时的阶跃信号，常表示为 $x_i (t) = 1(t)$

斜坡信号

$$x_i (t) = \begin{cases} 0 \qquad &t < 0 \\ Kt \qquad &t \geq 0 \end{cases}$$

$K$ 表示斜坡信号的位置梯度，即速度

单位斜坡信号： $K = 1$ 时的斜坡信号，常表示为 $x_i (t) = t$

抛物线信号

$$x_i (t) = \begin{cases} 0 \qquad &t < 0 \\ K t^2 \qquad &t \geq 0 \end{cases}$$

$K$ 表示信号的加速度能力

单位加速度信号：当 $K = \frac{1}{2}$ 时的抛物线信号，常表示为 $x_i (t) = \frac{1}{2} t^2$

第二节 一阶系统的时间响应

一阶系统（一阶惯性系统）的传递函数：

$$G(s) = \frac{X_o (s)}{X_i (s)} = \frac{1}{Ts + 1}$$

一阶系统的单位阶跃响应

$$x_o (t) = 1 - e^{-t / T} (t \geq 0)$$

式中，$T$ 为时间常数，$T$ 越小，响应越快

几个特点：

• 当 $t = 0$ 时，曲线的斜率等于 $\frac{1}{T}$
• 当 $t = T$ 时，$x_o (t) = 0.632$，或者说响应 $x_o (t)$ 达到稳态值的 63.2%
• 达到稳态值的标准：实际工作中，根据不同要求，输出量达到稳态值的 95% 或 98% ，即响应时间经过 3~4 倍的时间常数时，就认为瞬态过程结束从而达到稳态值了

一阶系统的单位斜坡响应

$$x_o (t) = t -T + T e^{-t / T} (t \geq 0)$$

一阶系统能够跟踪一个斜坡输入信号，但有一定的误差（见本章第六节“稳态误差”）

一阶系统的单位脉冲响应

$$x_o (t) = \frac{1}{T} e^{-t / T} (t \geq 0)$$

系统对输入信号导数的响应等于对原输入信号响应的导数，而系统对输入信号积分的响应等于对原输入信号响应的积分，积分常数则由零初始条件确定。

第三节 二阶系统的时间响应

最常用的信号为单位阶跃信号

有阻尼自然振荡频率： $\omega_d = \omega_n \sqrt{1 - \zeta^2}$

临界阻尼（$\zeta = 1$）的情况

单调响应过程

过阻尼（$\zeta > 1$）的情况

单调响应过程

欠阻尼（$0 < \zeta < 1$）的情况

单位阶跃响应以阻尼自然频率 $\omega_d$ 衰减振荡

无阻尼自然振荡频率：$\omega_n$

随着 $\zeta$ 值的增加，振荡周期增大，$\omega_d$ 减小

第四节 二阶系统的性能指标分析

瞬态响应指标分析

瞬态响应指标

瞬态响应指标：又称动态性能指标，是用于表示评价控制系统动态特性的时间域的几个特征量

延迟时间 $t_d$

响应曲线第一次达到稳态值一半所需要的时间

上升时间 $t_r$

响应曲线从稳态值的 10% 上升到 90% 或从 0 上升到稳态值的 100% 所需要的时间
对于过阻尼系统，通常采用 10% ~ 90%；对于欠阻尼系统，通常采用 0 ~ 100%

峰值时间 $t_p$

响应曲线达到第一个峰值所需要的时间

最大超调量 $M_p$ 或 $\sigma \%$

输出量的最大峰值与稳态值之差：

$$M_p = x_o(t_p) - x_o(\infty)$$

或

$$\sigma \% = \frac{x_o (t_p) - x_o (\infty)}{x_o (\infty)} \times 100 \%$$

调整时间 $t_s$

在响应曲线的稳态值上下作一个允许误差范围（通常取稳态值的 $\pm 5 \%$ 或 $\pm 2 \%$），响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内所需要的时间

振荡次数 $N$

在 $0 \leq t \leq t_s$ 时间内，响应曲线穿越稳态值线次数的一半

二阶系统瞬态响应指标分析

下面推导欠阻尼二阶系统单位阶跃输入时的 $t_r$，$t_p$，$t_s$，$M_p$，$\sigma \%$ 和 $N$ 的计算公式

上升时间 $t_r$ 的计算

$$t_r = \frac{\pi - \arctan \frac{\sqrt{1 - \zeta^2}}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1 - \zeta^2}}$$

峰值时间 $t_p$ 的计算

$$t_p = \frac{\pi}{\omega_n \sqrt{1 - \zeta^2}}$$

最大超调量 $M_p$ 和 $\sigma \%$ 的计算

$$M_p = e^{- \frac{\zeta \pi}{\sqrt{1 - \zeta^2}}} = \exp(- \frac{\zeta \pi}{\sqrt{1 - \zeta^2}})$$

$$\sigma \% = e^{-(\zeta/\sqrt{1 - \zeta^2})} \times 100 \%$$

调整时间 $t_s$ 的计算

采用 2% 的允许稳态误差时：

$$t_s \geq \frac{4 + \ln\frac{1}{\sqrt{1 - \zeta^2}}}{\zeta \omega_n}$$

在阻尼比 $\zeta$ 较小的情况下，近似计算式为：

$$t_s = \frac{4}{\zeta \omega_n} = \frac{4}{\delta}$$

采用 5% 的允许稳态误差：

$$t_s \geq \frac{3 + \ln\frac{1}{\sqrt{1 - \zeta^2}}}{\zeta \omega_n}$$

近似计算式：

$$t_s = \frac{3}{\zeta \omega_n} = \frac{3}{\delta}$$

振荡次数 $N$ 的计算

当采用 2% 允许误差时：

$$N = \frac{2 \sqrt{1 - \zeta^2}}{\pi \zeta}$$

当采用 5% 允许误差时：

$$N = \frac{1.5 \sqrt{1 - \zeta^2}}{\pi \zeta}$$

二阶系统时域指标与频域指标的关系

1. 时域指标 $t_r$，$t_p$，$t_s$，$M_p$（或$\sigma \%$）等和频域指标 $\gamma$ ，$M_r$，$\omega_r$ 等都与 $\zeta$ 有关

2. 相位裕量 $\gamma$ 和阻尼比 $\zeta$ 直接相关

3. 由 $\omega_d = \omega_n \sqrt{1 - \zeta ^2}$ 和 $\omega_r = \omega_n \sqrt{1 - 2\zeta^2}$ 可以看出，对于小的阻尼比 $\zeta$，$\omega_r$ 和 $\omega_d$ 的值几乎相等。所以对于小 $\zeta$ 值，$\omega_r$ 的值表征了系统瞬态响应速度

4. 由 $M_p = e^{-(\zeta/\sqrt{1-\zeta^2})}$ 和 $M_r = \frac{1}{2\zeta \sqrt{1-\zeta^2}}$ 可知，$\zeta$ 越小，$M_r$ 和 $M_p$ 越大

5. 峰值时间 $t_p$ 和调整时间 $t_s$ 分别为

   $$t_p = \frac{\pi}{\omega_d} = \frac{\pi}{\omega_n \sqrt{1 - \zeta^2}}$$

   $$t_s = \frac{4}{\zeta \omega_n} \ \mathrm{or} \ t_s = \frac{3}{\zeta \omega_n}$$

   可见，$\omega_n$ 越大，响应速度越快，而 $\omega_n$ 越大，$\omega_r = \omega_n \sqrt{1-2\zeta^2}$ 越大，所以 $\omega_r$ 的值也表征了响应速度

第五节 高阶系统的时间响应

三阶系统的单位阶跃响应

高阶系统的时间响应分析

对高阶系统的近似分析提出以下几点说明：

1. 如果系统的所有闭环极点都位于左半 $[s]$ 平面内，那么随着时间推移，各指数项和振荡项将趋近于零，系统的响应只剩下常数项，即 $x_o (\infty) = A$
2. 瞬态响应的类型取决于闭环极点，而零点、极点共同决定了瞬态响应曲线的形状
3. 位于左半 $[s]$ 平面远离虚轴的极点以及靠近零点的极点对瞬态响应影响较小，其作用常可忽略
4. 如果距虚轴最近的极点（位于左半 $[s]$ 平面），其实数部分为其他极点的 1/5 或更小，并且附近又没有零点，则可以认为系统的响应主要由该点（或共轭复数极点）所决定，这一部分衰减最慢。这种对系统瞬态响应起主要作用的极点，称为系统的主导极点
5. 一般情况下，高阶系统具有振荡性，所以主导极点常是共轭复数极点。找到了一对共轭复数主导极点，对高阶系统的分析就可以近似的当作二阶系统来分析，相应的性能指标都可以按二阶系统得到估计

第六节 稳态误差

稳态误差与稳态偏差

稳态误差

稳态误差：控制系统在输入信号作用下稳态输出的希望值与实际值之差，常用 $\varepsilon_{ss}$

误差函数 $\varepsilon(t)$：

$$\varepsilon(t) = x_{or} (t) - x_o(t)$$

稳态误差定义式：

$$\varepsilon_{ss} = \lim\limits_{t \to \infty} \varepsilon (t) = \lim\limits_{t \to \infty}[x_{or} (t ) - x_o (t)]$$

稳态偏差

偏差函数 $E(s)$：

$$E(s) = X_i (s) - X_b(s) = X_i(s) - H(s) X_o (s)$$

稳态偏差 $e_{ss}$：

$$e_{ss} = \lim\limits_{t \to \infty} e (t) = \lim\limits_{s \to 0} s E (s)$$

稳态偏差可以间接表示控制系统的稳态准确程度

误差信号与偏差信号的关系

对于单位反馈控制系统，偏差函数 $E(s)$ 和误差函数 $\varepsilon (s)$ 相等

对于非单位反馈控制系统，有

$$E(s) = \varepsilon (s) H(s)$$

稳态误差直接表示了控制系统的稳态控制准确程度

稳态偏差 $e_{ss}$ 则间接地表示了控制系统的稳态准确程度

偏差传递函数和稳态偏差计算式

系统对控制输入量的稳态偏差计算式：

$$e_{ss} = \lim\limits_{t \to \infty} e (t) = \lim\limits_{s \to 0} s E(s) = \lim\limits_{s \to 0} \frac{1}{1 + G(s) H(s)} X_i (s)$$

当 $H(s) = 1$ 时（单位XX信号），上式变为

$$e_{ss} = \lim\limits_{s \to 0} \frac{s}{1 + G(s)} X_i (s)$$

稳态偏差系数

单位阶跃输入

$$e_{ss} = \frac{1}{1+K_p}$$

位置偏差系数： $K_p = \lim\limits_{s \to 0} G(s) H(s) = G(0) H(0)$

对于 $0$ 型系统：

$$e_{ss} = \frac{1}{1 + K_p} = \frac{1}{1 + K}$$

对于 $\rm{I}$ 型或高于 $\rm{I}$ 型的系统：

$$e_{ss} = \frac{1}{1 + K_p} = 0$$

单位斜坡输入

$$e_{ss} = \frac{1}{K_v}$$

速度偏差系数：$K_v = \lim\limits_{s \to 0} s G(s) H(s)$

对于 $0$ 型系统（$\upsilon=0$）：

$$e_{ss} = \frac{1}{K_v} = \infin$$

对于 $\rm{I}$ 型系统（$\upsilon=1$）：

$$e_{ss} = \frac{1}{K_v} = \frac{1}{K}$$

对 $\rm{II}$ 型或高于 $\rm{II}$ 型的系统（$\upsilon \ge 2$）：

$$e_{ss} = \frac{1}{K_v} = 0$$

• $0$ 型系统不能跟踪斜坡输入，稳态偏差为无穷大
• $\rm{I}$ 型系统能跟踪斜坡输入，但总有一定偏差，为使稳态偏差不超过规定值，系统的 $K_v$ 即 $K$ 值必须足够大
• $\rm{II}$ 型系统及以上能准确地跟踪斜坡输入，稳态偏差为零

单位抛物线输入

$$e_{ss} = \frac{1}{K_a}$$

加速度偏差系数： $K_a = \lim\limits_{s \to 0} s^2 G(s) H(s)$

系统类型	阶跃输入	斜坡输入	抛物线输入
$0$ 型	$\frac{k}{1 + K}$	$\infty$	$\infty$
$\rm{I}$ 型	$0$	$\frac{k}{K}$	$\infty$
$\rm{II}$ 型	$0$	$0$	$\frac{k}{K}$

降低稳态偏差，提高控制系统的准确性：增大开环放大系数 $K$、增加积分环节个数 $\nu$