自动控制原理基础-04-控制系统的稳定性分析

本文最后更新于:2022年7月19日 晚上

第一节 概述

控制系统稳定性的基本概念

系统在受到扰动作用时,将偏离稳定平衡状态,当扰动消除后,系统能够以足够的精度逐渐恢复到原来的稳定平衡状态,则称系统是稳定的

若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下,其过渡过程随着时间的推移,偏差逐渐衰减并趋近于零,具有恢复原平衡状态的性能,则称该系统是稳定的,否则,称该系统是不稳定的

  • 大范围稳定:不论偏移多大的范围,最终都能回到平衡点
  • 小范围稳定:偏移一定范围内可以回到平衡点

稳定性时控制系统自身的固有特性,它取决于系统本身的结构和参数,与输入大小无关

控制系统稳定的条件

系统稳定的充分必要条件:

在特征方程的根平面上,系统特征方程的根全部位于复平面虚轴的左侧

控制系统稳定性的判定方法

依据:系统特征方程是否只具有负实根或负实部的复实根

目前工程上常用的稳定性判据主要有两种:

  1. 代数稳定性判据,也称劳斯-霍尔维茨稳定性判据
  2. 频率稳定性判据,也称奈奎斯特稳定性判据

第二节 代数稳定性判据

系统稳定的必要条件:

  1. 特征方程的各项系数 ai(i=0,1,2,,n1,n)a_i (i = 0, 1, 2, \cdots, n-1, n) 都不等于零
  2. 特征方程的各项系数 aia_i 的符号均相同

劳斯稳定性判据

劳斯(Routh)稳定性判据:

  1. 必要条件:系统特征方程式的全部系数大于零,且不缺项
  2. 充分条件:系统特征方程式系数组成的劳斯表第一列全部大于零

建立劳斯表的步骤:

  1. 由特征方程式中的系数按以下方式排列出劳斯表的第一、第二行,箭头方向为系数由高阶向低阶排列的顺序(下,右上、下,右上、下,右上……)
  2. 劳斯表中空缺的项,运算时以零代入
  3. 在第一行和第二行的基础上求出第三行(见下文 b1b_1, b2b_2, … 计算公式)
  4. 在第二行、第三行的基础上求出第四行(见下文 c1c_1, c2c_2, … 计算公式)
  5. 继续求取第五行,直到 s0s^0 为止,这样可以得到一个 n+1n+1 行的表格,称为劳斯表
1 2 3 4 \cdots
sns^n ana_n an2a_{n-2} an4a_{n-4} an6a_{n-6} \cdots
sn1s^{n-1} an1a_{n-1} an3a_{n-3} an5a_{n-5} an7a_{n-7} \cdots
sn2s^{n-2} b1b_1 b2b_2 b3b_3 b4b_4 \cdots
sn3s^{n-3} c1c_1 c2c_2 c3c_3 c4c_4 \cdots
sn4s^{n-4} d1d_1 d2d_2 d3d_3 d4d_4 \cdots
sn5s^{n-5} e1e_1 e2e_2 e3e_3 e4e_4 \cdots
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots

b1=1an1anan2an1an3b_1 = -\frac{1}{a_{n-1}} \begin{vmatrix} a_n & a_{n-2} \\ a_{n-1} & a_{n-3} \end{vmatrix}

b2=1an1anan4an1an5b_2 = -\frac{1}{a_{n-1}} \begin{vmatrix} a_n & a_{n-4} \\ a_{n-1} & a_{n-5} \end{vmatrix}

b3=1an1anan6an1an7b_3 = -\frac{1}{a_{n-1}} \begin{vmatrix} a_n & a_{n-6} \\ a_{n-1} & a_{n-7} \end{vmatrix}

c1=1b1an1an3b1b2=1b1(b1an3an1b2)c_1 = -\frac{1}{b_1} \begin{vmatrix} a_{n-1} & a_{n-3} \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} =\frac{1}{b_1} (b_1 a_{n-3} - a_{n-1} b_2)

c2=1b1an1an5b1b3=1b1(b1an5an1b3)c_2 = -\frac{1}{b_1} \begin{vmatrix} a_{n-1} & a_{n-5} \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} =\frac{1}{b_1} (b_1 a_{n-5} - a_{n-1} b_3)

c1=1b1an1an7b1b4=1b1(b1an7an1b4)c_1 = -\frac{1}{b_1} \begin{vmatrix} a_{n-1} & a_{n-7} \\ b_1 & b_4 \end{vmatrix} =\frac{1}{b_1} (b_1 a_{n-7} - a_{n-1} b_4)

  • 系统稳定:劳斯表中第一列元素符号全部相同(即全部为正值)
  • 系统临界稳定:第一列中出现零值,其他元素为正
  • 系统不稳定:第一列中有负数
  • 系统特征方程含有正根的数目:第一列中数值符号改变的次数
  • 劳斯表中空缺的项,运算时以零代入

霍尔维茨稳定性判据

霍尔维茨(Hurwitz)稳定性判据:

设系统的特征方程式为

D(s)=ansn+an1sn1++a1s+a0=0D(s) = a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0 = 0

其各项系数排成如下行列式

Δn=an1an3an50anan2an400an1an3000000a100a2a0\Delta_n = \begin{vmatrix} a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} & \cdots & 0 \\ a_n & a_{n-2} & a_{n-4} & \cdots & 0 \\ 0 & a_{n-1} & a_{n-3} & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & a_1 & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & a_2 & a_0 \end{vmatrix}

  1. 必要条件:系统特征方程式的各项系数均大于零,且不缺项
  2. 充分条件:由系统的特征方程式系数组成的系数行列式及各子行列式 Δ1\Delta_1Δ2\Delta_2\cdotsΔn\Delta_n 均大于零,即

Δ1=an1>0\Delta_1 = a_{n-1} > 0

Δ2=an1an3anan2>0\Delta_2 = \begin{vmatrix} a_{n-1} & a_{n-3} \\ a_n & a_{n-2} \end{vmatrix} > 0

Δ3=an1an3an5anan2an40an1an3>0\Delta_3 = \begin{vmatrix} a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} \\ a_n & a_{n-2} & a_{n-4} \\ 0 & a_{n-1} & a_{n-3} \end{vmatrix} > 0

\cdots \cdots

Δn>0\Delta_n > 0

Δn\Delta_n 称为霍尔维茨行列式

对于特征方程阶次较低(n4n \leq 4)的系统,霍尔维茨稳定性判据可以表达如下:

  • n=2n = 2 时,各项系数均大于零,则系统稳定
  • n=3n = 3 时,各项系数均大于零,且 a1a2a0a3>0a_1 a_2 - a_0 a_3 > 0,则系统稳定
  • n=4n = 4 时,各项系数均大于零,且 a1a2a3a0a32a12a4>0a_1 a_2 a_3 - a_0 a_3^2 - a_1^2 a_4 >0,则系统稳定

第三节 奈奎斯特频率稳定性判据

由系统开环频率特性来判断闭环系统的稳定性

几何判据

奈奎斯特稳定性判据

N=ZPN = Z - P

ZZ —— 闭环右极点数;

PP —— 开环右极点数;

NN —— ω\omega- \infty++ \infty 的范围内变化时,GK(jω)=G(jω)H(jω)G_K(j \omega) = G(j \omega) H(j \omega) 封闭曲线在 [GH][GH] 平面内包围 (1,j0)(-1, j0) 点的圈数

结论:

  1. P=0P=0,即开环右极点数为零,闭环系统稳定性的充要条件:当 ω\omega- \infty 变到 ++ \infty 时,开环奈奎斯特曲线不包围 (1,j0)(-1, j0)
  2. P0P \not= 0 ,即开环右极点数不为零,闭环系统稳定的充要条件:当 ω\omega- \infty 变到 ++ \infty 时,开环奈奎斯特曲线逆时针包围 (1,j0)(-1, j0) 点的圈数 NN 等于开环传递函数在右半 [s][s] 平面上的极点数 PP。当用 ω\omega00++ \infty 的奈奎斯特曲线时,N=P2N = -\frac{P}{2},系统稳定
  3. 当奈奎斯特曲线正好经过 (1,j0)(-1, j0) 点时,则闭环系统为临界稳定系统

奈奎斯特稳定性判据应用举例

当开环系统有 PP 个右根时,如果开环频率特性 GK(jω)G_K (j \omega) 在 0 到 ++ \infty 范围内的奈奎斯特曲线在 (1,j0)(-1, j0) 点以左实轴上正穿越次数减负穿越次数等于 P/2P/2 ,则闭环系统稳定,反之则不稳定。

第四节 对数频率稳定性判据

由系统的开环对数频率特性来判定闭环系统的稳定性

利用波德图来判断系统的稳定性,简称为对数判据或波德判据

奈奎斯特图与波德图的对应关系

  1. 奈奎斯特图的单位圆相当于波德图上的 0dB0 \rm{dB} 线,即对数幅频特性图的横坐标轴,因为此时

    20lgG(jω)H(jω)=20lg1=0 dB20 \lg \mid G(j \omega) H(j \omega) \mid = 20 \lg 1 = 0 \ \rm{dB}

  2. 奈奎斯特图上的复实轴相当于波德图上的 180- 180^{\circ} 线,即对数相频特性图的横坐标轴(此时的对数相频特性图以 180- 180^{\circ} 线作为横坐标轴),因为负实轴相位为 180- 180^{\circ}

对数频率稳定性判据及应用举例

对数稳定性判据:

  1. (一般系统)当 P=0P = 0 时,且波德图中曲线均为单调变化,若开环对数幅频特性比其对数相频特性先交于横轴,即 ωc<ωg\omega_c < \omega_g,则闭环系统稳定;若开环对数幅频特性比其对数相频特性后交于横轴,即 ωc>ωg\omega_c > \omega_g,则闭环系统不稳定;若 ωc=ωg\omega_c = \omega_g 则闭环系统稳定
  2. (全面叙述)当考虑 P0P \geq 0 时的情况时,在系统波德图上,当 ω\omega00 变到 ++ \infty 时,在 L(ω)0L(\omega) \geq 0 的范围内,开环对数相频特性正穿越与负穿越 180-180^\circ 轴线的次数差为 P/2P/2 时,闭环系统稳定;否则不稳定

正穿越:由下向上穿越180-180^\circ 轴线;负穿越相反

第五节 控制系统的相对稳定性

理论上,如果稳定性指标正好在稳定判据所规定的临界限上,就认为系统处于稳定的临界状态。在实际上,因为系统在工作时由于某种因素的影响可能不稳定,故不存在这种情况。

稳定性裕量(相对稳定性):实际稳定指标距离临界稳定性指标的程度

相位裕量 γ\gamma

也称为相位稳定性储备

在奈奎斯特图中,γ\gamma 即为奈奎斯特曲线与单位圆的交点 AA 对负实轴的相位差值,它表示幅频特性为 1 时的幅值交界频率 ωc\omega_c 处,相角与 -180° 之差,即

γ=180+φ(ωc)\gamma = 180^{\circ} + \varphi (\omega_c)

在波德图中,当 ω\omega 为幅值交界频率 ωc\omega_c 时,相频特性 GH\angle GH 距 -180° 线的相位差值为相位裕量

幅值裕量 KgK_g

系统的幅值裕量:当 ω\omega 为相位交界频率 ωg\omega_g 时,开环频率特性 GK(jωg)\mid G_K (j \omega_g) \mid 的倒数

Kg=1GK(jωg)K_g = \frac{1}{\mid G_K (j \omega_g) \mid}

关于相位裕量和幅值裕量的说明

在工程实践中,为使系统有满意的稳定储备,一般希望

γ=3060\gamma = 30^{\circ} \sim 60^{\circ}

KgK_g (dB) > 6 dB,即 KgK_g > 2,GK(jωg)\mid G_K (j \omega_g) \mid < 0.5

影响系统稳定性的主要因素

系统的开环增益

降低系统的开环增益,可增加系统的幅值储备和相位储备,从而提高系统的相对稳定性

积分环节

开环系统含有积分环节的数目一般不超过 2

延时环节和非最小相位环节

延时环节和非最小相位环节会给系统带来相位滞后,从而减小相位储备,降低稳定性,因而应尽量避免延时环节或使其延时时间尽量小,尽量避免非最小相位环节出现


自动控制原理基础-04-控制系统的稳定性分析
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作者
Muzing
发布于
2021年10月31日
更新于
2022年7月19日
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