自动控制原理基础-04-控制系统的稳定性分析

第一节 概述

控制系统稳定性的基本概念

系统在受到扰动作用时，将偏离稳定平衡状态，当扰动消除后，系统能够以足够的精度逐渐恢复到原来的稳定平衡状态，则称系统是稳定的

若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下，其过渡过程随着时间的推移，偏差逐渐衰减并趋近于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统是稳定的，否则，称该系统是不稳定的

• 大范围稳定：不论偏移多大的范围，最终都能回到平衡点
• 小范围稳定：偏移一定范围内可以回到平衡点

稳定性时控制系统自身的固有特性，它取决于系统本身的结构和参数，与输入大小无关

控制系统稳定的条件

系统稳定的充分必要条件：

在特征方程的根平面上，系统特征方程的根全部位于复平面虚轴的左侧

控制系统稳定性的判定方法

依据：系统特征方程是否只具有负实根或负实部的复实根

目前工程上常用的稳定性判据主要有两种：

1. 代数稳定性判据，也称劳斯-霍尔维茨稳定性判据
2. 频率稳定性判据，也称奈奎斯特稳定性判据

第二节 代数稳定性判据

系统稳定的必要条件：

1. 特征方程的各项系数 $a_i (i = 0, 1, 2, \cdots, n-1, n)$ 都不等于零
2. 特征方程的各项系数 $a_i$ 的符号均相同

劳斯稳定性判据

劳斯（Routh）稳定性判据：

1. 必要条件：系统特征方程式的全部系数大于零，且不缺项
2. 充分条件：系统特征方程式系数组成的劳斯表第一列全部大于零

建立劳斯表的步骤：

1. 由特征方程式中的系数按以下方式排列出劳斯表的第一、第二行，箭头方向为系数由高阶向低阶排列的顺序（下，右上、下，右上、下，右上……）
2. 劳斯表中空缺的项，运算时以零代入
3. 在第一行和第二行的基础上求出第三行（见下文 $b_1$, $b_2$, … 计算公式）
4. 在第二行、第三行的基础上求出第四行（见下文 $c_1$, $c_2$, … 计算公式）
5. 继续求取第五行，直到 $s^0$ 为止，这样可以得到一个 $n+1$ 行的表格，称为劳斯表

	1	2	3	4	$\cdots$
$s^n$	$a_n$	$a_{n-2}$	$a_{n-4}$	$a_{n-6}$	$\cdots$
$s^{n-1}$	$a_{n-1}$	$a_{n-3}$	$a_{n-5}$	$a_{n-7}$	$\cdots$
$s^{n-2}$	$b_1$	$b_2$	$b_3$	$b_4$	$\cdots$
$s^{n-3}$	$c_1$	$c_2$	$c_3$	$c_4$	$\cdots$
$s^{n-4}$	$d_1$	$d_2$	$d_3$	$d_4$	$\cdots$
$s^{n-5}$	$e_1$	$e_2$	$e_3$	$e_4$	$\cdots$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$

$$b_1 = -\frac{1}{a_{n-1}} \begin{vmatrix} a_n & a_{n-2} \\ a_{n-1} & a_{n-3} \end{vmatrix}$$

$$b_2 = -\frac{1}{a_{n-1}} \begin{vmatrix} a_n & a_{n-4} \\ a_{n-1} & a_{n-5} \end{vmatrix}$$

$$b_3 = -\frac{1}{a_{n-1}} \begin{vmatrix} a_n & a_{n-6} \\ a_{n-1} & a_{n-7} \end{vmatrix}$$

$$c_1 = -\frac{1}{b_1} \begin{vmatrix} a_{n-1} & a_{n-3} \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} =\frac{1}{b_1} (b_1 a_{n-3} - a_{n-1} b_2)$$

$$c_2 = -\frac{1}{b_1} \begin{vmatrix} a_{n-1} & a_{n-5} \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} =\frac{1}{b_1} (b_1 a_{n-5} - a_{n-1} b_3)$$

$$c_1 = -\frac{1}{b_1} \begin{vmatrix} a_{n-1} & a_{n-7} \\ b_1 & b_4 \end{vmatrix} =\frac{1}{b_1} (b_1 a_{n-7} - a_{n-1} b_4)$$

• 系统稳定：劳斯表中第一列元素符号全部相同（即全部为正值）
• 系统临界稳定：第一列中出现零值，其他元素为正
• 系统不稳定：第一列中有负数
• 系统特征方程含有正根的数目：第一列中数值符号改变的次数
• 劳斯表中空缺的项，运算时以零代入

霍尔维茨稳定性判据

霍尔维茨（Hurwitz）稳定性判据：

设系统的特征方程式为

$$D(s) = a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0 = 0$$

其各项系数排成如下行列式

$$\Delta_n = \begin{vmatrix} a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} & \cdots & 0 \\ a_n & a_{n-2} & a_{n-4} & \cdots & 0 \\ 0 & a_{n-1} & a_{n-3} & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & a_1 & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & a_2 & a_0 \end{vmatrix}$$

1. 必要条件：系统特征方程式的各项系数均大于零，且不缺项
2. 充分条件：由系统的特征方程式系数组成的系数行列式及各子行列式 $\Delta_1$ ，$\Delta_2$ ，$\cdots$ ，$\Delta_n$ 均大于零，即

$$\Delta_1 = a_{n-1} > 0$$

$$\Delta_2 = \begin{vmatrix} a_{n-1} & a_{n-3} \\ a_n & a_{n-2} \end{vmatrix} > 0$$

$$\Delta_3 = \begin{vmatrix} a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} \\ a_n & a_{n-2} & a_{n-4} \\ 0 & a_{n-1} & a_{n-3} \end{vmatrix} > 0$$

$$\cdots \cdots$$

$$\Delta_n > 0$$

$\Delta_n$ 称为霍尔维茨行列式

对于特征方程阶次较低（$n \leq 4$）的系统，霍尔维茨稳定性判据可以表达如下：

• $n = 2$ 时，各项系数均大于零，则系统稳定
• $n = 3$ 时，各项系数均大于零，且 $a_1 a_2 - a_0 a_3 > 0$，则系统稳定
• $n = 4$ 时，各项系数均大于零，且 $a_1 a_2 a_3 - a_0 a_3^2 - a_1^2 a_4 >0$，则系统稳定

第三节 奈奎斯特频率稳定性判据

由系统开环频率特性来判断闭环系统的稳定性

几何判据

奈奎斯特稳定性判据

$$N = Z - P$$

$Z$ —— 闭环右极点数；

$P$ —— 开环右极点数；

$N$ —— $\omega$ 从 $- \infty$ 到 $+ \infty$ 的范围内变化时，$G_K(j \omega) = G(j \omega) H(j \omega)$ 封闭曲线在 $[GH]$ 平面内包围 $(-1, j0)$ 点的圈数

结论：

1. 当 $P=0$，即开环右极点数为零，闭环系统稳定性的充要条件：当 $\omega$ 从 $- \infty$ 变到 $+ \infty$ 时，开环奈奎斯特曲线不包围 $(-1, j0)$ 点
2. 当 $P \not= 0$ ，即开环右极点数不为零，闭环系统稳定的充要条件：当 $\omega$ 从 $- \infty$ 变到 $+ \infty$ 时，开环奈奎斯特曲线逆时针包围 $(-1, j0)$ 点的圈数 $N$ 等于开环传递函数在右半 $[s]$ 平面上的极点数 $P$。当用 $\omega$ 从 $0$ 到 $+ \infty$ 的奈奎斯特曲线时，$N = -\frac{P}{2}$，系统稳定
3. 当奈奎斯特曲线正好经过 $(-1, j0)$ 点时，则闭环系统为临界稳定系统

奈奎斯特稳定性判据应用举例

当开环系统有 $P$ 个右根时，如果开环频率特性 $G_K (j \omega)$ 在 0 到 $+ \infty$ 范围内的奈奎斯特曲线在 $(-1, j0)$ 点以左实轴上正穿越次数减负穿越次数等于 $P/2$ ，则闭环系统稳定，反之则不稳定。

第四节 对数频率稳定性判据

由系统的开环对数频率特性来判定闭环系统的稳定性

利用波德图来判断系统的稳定性，简称为对数判据或波德判据

奈奎斯特图与波德图的对应关系

1. 奈奎斯特图的单位圆相当于波德图上的 $0 \rm{dB}$ 线，即对数幅频特性图的横坐标轴，因为此时

   $$20 \lg \mid G(j \omega) H(j \omega) \mid = 20 \lg 1 = 0 \ \rm{dB}$$

2. 奈奎斯特图上的复实轴相当于波德图上的 $- 180^{\circ}$ 线，即对数相频特性图的横坐标轴（此时的对数相频特性图以 $- 180^{\circ}$ 线作为横坐标轴），因为负实轴相位为 $- 180^{\circ}$

对数频率稳定性判据及应用举例

对数稳定性判据：

1. （一般系统）当 $P = 0$ 时，且波德图中曲线均为单调变化，若开环对数幅频特性比其对数相频特性先交于横轴，即 $\omega_c < \omega_g$，则闭环系统稳定；若开环对数幅频特性比其对数相频特性后交于横轴，即 $\omega_c > \omega_g$，则闭环系统不稳定；若 $\omega_c = \omega_g$ 则闭环系统稳定
2. （全面叙述）当考虑 $P \geq 0$ 时的情况时，在系统波德图上，当 $\omega$ 由 $0$ 变到 $+ \infty$ 时，在 $L(\omega) \geq 0$ 的范围内，开环对数相频特性正穿越与负穿越 $-180^\circ$ 轴线的次数差为 $P/2$ 时，闭环系统稳定；否则不稳定

正穿越：由下向上穿越$-180^\circ$ 轴线；负穿越相反

第五节 控制系统的相对稳定性

理论上，如果稳定性指标正好在稳定判据所规定的临界限上，就认为系统处于稳定的临界状态。在实际上，因为系统在工作时由于某种因素的影响可能不稳定，故不存在这种情况。

稳定性裕量（相对稳定性）：实际稳定指标距离临界稳定性指标的程度

相位裕量 $\gamma$

也称为相位稳定性储备

在奈奎斯特图中，$\gamma$ 即为奈奎斯特曲线与单位圆的交点 $A$ 对负实轴的相位差值，它表示幅频特性为 1 时的幅值交界频率 $\omega_c$ 处，相角与 -180° 之差，即

$$\gamma = 180^{\circ} + \varphi (\omega_c)$$

在波德图中，当 $\omega$ 为幅值交界频率 $\omega_c$ 时，相频特性 $\angle GH$ 距 -180° 线的相位差值为相位裕量

幅值裕量 $K_g$

系统的幅值裕量：当 $\omega$ 为相位交界频率 $\omega_g$ 时，开环频率特性 $\mid G_K (j \omega_g) \mid$ 的倒数

$$K_g = \frac{1}{\mid G_K (j \omega_g) \mid}$$

关于相位裕量和幅值裕量的说明

在工程实践中，为使系统有满意的稳定储备，一般希望

$$\gamma = 30^{\circ} \sim 60^{\circ}$$

$K_g$ (dB) > 6 dB，即 $K_g$ > 2，$\mid G_K (j \omega_g) \mid$ < 0.5

影响系统稳定性的主要因素

系统的开环增益

降低系统的开环增益，可增加系统的幅值储备和相位储备，从而提高系统的相对稳定性

积分环节

开环系统含有积分环节的数目一般不超过 2

延时环节和非最小相位环节

延时环节和非最小相位环节会给系统带来相位滞后，从而减小相位储备，降低稳定性，因而应尽量避免延时环节或使其延时时间尽量小，尽量避免非最小相位环节出现